Materi Olimpiade Matematika SD " Bilangan "

A.   BILANGAN

1.   Operasi Bilang Bulat.

Bilangan bulat biasa dilambangkan dengan huruf B, dengan anggota sebagai berikut:

B = { … , ­­-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … }. Dalam garis bilangan dapat ditulis sebagai berikut:

`

      …    -9  -8 -7-6 -5 -4 -3 -2 -1   0   1    2   3    4   5   6    7   8    9    …

1.      Sifat Operasi Penjumlahan Bilangan Bulat

à     Sifat komutatif Untuk a, b Î B, maka a + b = b + a à     Sifat asosiatif Untuk a, b, c Î B, maka (a + b) + c = a + ( b + c) à     Unsur Identitas (netral) Untuk a Î C, maka : a +0 = 0 + a = a, maka 0 disebut unsur identitas (netral)

Contoh 1: à     (-3) + 12 = 9 à     12 + (-3) = 9 Jadi, (-3) + 12 = 12 + (-3) (bersifat komutatif) Contoh 2: à     (3 + 2) + (-7) = 5 + (-7) = -2 à     3 + (2 + (-7)) = 3 + (-5) = -2 Jadi, (3 + 2) + (-7) = 3 + (2 + (-7)) (bersifat asosiatif) Contoh 3: à     (-4) + 0 = 0 + (-4) = 4 à     3 + 0 = 0 + 3 = 4 à     11 + 0 = 0 + 11 = 11 0 unsur identitas (netral), karena jika dijumlahkan terhadap suatu bilangan hasilnya bilangan itu juga

à     Invers jumlah a + (-a) = (-a) + a = 0 Jadi, invers dari a adalah -a atau invers dari -a adalah a à     Bersifat tertutup Dua buah bilangan bulat dijumlahkan maka hasilnya bilangan bulat juga

Contoh 4: à     invers atau lawan dari 6 adalah -6 à     invers atau lawan dari -7 adalah 7 Contoh 5: à     3 + (-6) = -3 (bil. bulat) à     (-3) + (-9) = - 6 (bil. bulat)

2.      Sifat Operasi Pengurangan Bilangan Bulat

à     Pengurangan a – b = c, berarti a = b+c Pengurangan berarti kebalikan penjumlahan à     Pengurangan tidak bersifat komutatif a – b  ¹ b – a, a Î C à     Pengurangan tidak bersifat asosiatif Untuk a, b, c Î C, maka (a - b) - c ¹ a - ( b - c)

Contoh 6: à     6 – 2 = x ® 6 = x + 2 ® x = 4. Jadi, 6 – 2 = 4 . à     9 – 3 = y ® 9 = y + 3 ® y = 6. Jadi, 9 – 3 = 6 . Contoh 7: à     9 – 3 = 6 à     3 – 9 = - 6 (bil. bulat) Jadi, 9 – 3 ¹ 3 – 9  (pengurangan tidak bersifat komutatif) Contoh 8: à     (9 – 4 ) – 1 = 5 – 1 = 4 à     9 – (4 – 1) = 9 – 3 = 6 Jadi, (9 – 4) – 1 ¹ 9 – (4 – 1)

                       

3.      Sifat Operasi Perkalian Bilangan Bulat

à     Sifat komutatif Untuk a, b Î C, maka a ´ b = b ´ a à     Sifat asosiatif Untuk a, b, c Î C, maka (a ´ b) ´ c = a ´ ( b ´c) à     Unsur Identitas (netral) Untuk a Î C, maka : a ´ 1 = 1 ´ a = a, maka 1 disebut unsur identitas (netral) à     Bilangan nol Untuk a Î C, maka : a ´ 0 = 0 ´ a = 0 à     Bersifat tertutup Dua buah bilangan bulat dikalikan maka hasilnya bilangan bulat juga

Contoh 9: à     3 ´ (-12) = -36 à     (-12) ´ 3 = -36 Jadi, 3 ´ (-12) = (-12) ´ 3 (bersifat komutatif) Contoh 10: à     (3 ´ 2) ´ 7 = 6 ´ 7 = 42 à     3 ´ (2 ´ 7) = 3 ´ 14 = 42 Jadi, (3 ´ 2) ´ 7 = 3 ´ (2 ´ 7) (bersifat asosiatif) Contoh 11: à     (-4) ´ 1 = 1 ´ (-4) = -4 à     3 ´ 1 = 1 ´ 3 = 3 1 unsur identitas (netral), karena jika dikalikan terhadap suatu bilangan hasilnya bilangan itu. Contoh 12: à     4 ´ 0 = 0 ´ 4 = 0 à     5 ´ 0 = 0 ´ 5 = 0 Contoh 13: à     3 ´ 2 = 6 (bil. bulat) à     4 ´ (-3) = -12 (bil. bulat) à     (-2) ´ 1 = -2 (bil. bulat) à     (-1) ´ (-2) = 2 (bil. bulat)

4.      Sifat Distributif Perkalian terhadap Penjumlahan dan Pengurangan

à     a ´ (b + c) = a ´ b + a ´ c atau  a ´ b + a ´ c= a ´ (b + c) à     a ´ (b - c) = a ´ b - a ´ c atau a ´ b - a ´ c= a ´ (b - c)

Contoh 14: à     3 ´ (4 + 5) = 3 ´ 9 = 27 à     3 ´ 4 + 3 ´ 5 = 12 + 15 = 27 Jadi, 3 ´ (4 + 5) = 3 ´ 4 + 3 ´ 5. Contoh 15: à     3 ´ (9 - 5) = 3 ´ 4 = 12 à     3 ´ 9 - 3 ´ 5 = 27 + 15 = 12 Jadi, 3 ´ (9 - 5) = 3 ´ 9 - 3 ´ 5 .

5.      Sifat Operasi Pembagian Bilangan Bulat

à     Pembagian a : b = c, berarti a= b´c Pembagian berarti kebalikan perkalian à     Pembagian tidak bersifat komutatif a : b ¹ b : a,  a Î C à     Pembagian tidak bersifat asosiatif Untuk a, b, c Î C, maka (a : b) : c ¹ a : ( b : c)

Contoh 16: 6 : 2 = a Û  6 = a ´ 2 Û a = 3. Jadi, 6 : 2 = 3 Contoh 17: à     8 : 4 = 2 à     4 : 8 = ½  (bil. pecahan) Jadi, 8 : 4 ¹ 4 : 8 (tidak komutatif) Contoh 18: à     (8 : 2) : 4 = 4 : 4 = 1 à     8 : (2 : 4) = 8 : ½  = 16 Jadi, (8 : 2) : 4 ¹ 8 : (2 : 4).

6.      Operasi Penjumlahan Bilangan Bulat

1.    a + b bilangan positif ditambah bilangan positif hasilnya bilangan positif 2.    a + (-b) bilangan positif ditambah bilangan negatif hasilnya bisa bilangan positif atau bilangan negatif 3.    (-a) + (-b) Bilangan negatif ditambah dengan bilangan negatif hasilnya bilangan negatif

Contoh 19: à     8 + 12 = 20 à     12 + 3 = 15 Contoh 20: à     5 + (-7) = -2 (lebih besar negatifnya, hasilnya negatif ) à     9 + (-7) = 2 (lebih besar positifnya, hasilnya positif) Contoh 21: à     (-4) + (-6) = -10 à     -3 + (-17) = -20

7.      Operasi Pengurangan Bilangan Bulat

1.    a – b = a + (-b) Mengurangi suatu bilangan bulat sama dengan menjumlahkan lawannya 2.    - (-a) = + a = a Lawan dari -a adalah a .

Contoh 22 : à     8 - 12 = 8 + (-12) = -4 (lebih besar negatifnya, hasilnya negatif) à     12 - (-3) = 12 + 3 = 15 à     -12 - (-6) = -12 + 6 = -6 Contoh 23: à     - (-3) = 3. à     - (-6) = 6.

8.      Operasi Perkalian Bilangan Bulat

1.    bilangan positif dikalikan bilangan positif hasilnya bilangan positif (+) ´ (+) = + 2.    bilangan negatif dikalikan bilangan negatif hasilnya bilangan positif (-) ´ (-) = + 3.    bilangan positif dikalikan bilangan negatif atau bilangan negatif dikalikan bilangan positif hasilnya bilangan negatif (+) ´ (-) = - (-) ´ (+) = -

Contoh 24:   à     8 ´ 12 = 96 à     12 ´ 3 = 15 Contoh 25: à     (-5) ´ (-7) = 35 à     (-9) ´ (-7) = 63 Contoh 26: à     4 ´ (-6) = -24 à     -3 ´ 17 = -51 à     -10 ´ 5 = -50 à     12 ´ -6 = -72

9.      Operasi Pembagian Bilangan Bulat

1.    bilangan positif dibagi bilangan positif hasilnya bilangan positif (+) : (+) = + 2.    bilangan negatif dibagi bilangan negatif hasilnya bilangan positif (-) : (-) = + 3.    bilangan positif dibagi bilangan negatif atau bilangan negatif dibagi bilangan positif hasilnya bilangan negatif (+) : (-) = - (-) : (+) = -

Contoh 27: à     12 : 4 = 3 à     25 : 5 = 5 Contoh 28: à     (-24) : (-6) = 4 à     (-49) : (-7) = 7 Contoh 29: à     24 : (-6) = -4 à     -33 : 3 = -11 à     -10 : 5 = -2 à     12 : -6 = -2

CONTOH  SOAL DAN PEMBAHASAN OLIMPIADE SD / MI

-    Memahami urutan prioritas operasi dalam matematika.

Contoh .1

( Soal Olimpiade Matematika Tingkat Provinsi Jawa Barat )

Hasil dari

a.    654

b.    624

c.    330

d.    165
Jawab

(1) 

              

(2) 

(3) 

(4) 

Contoh .2

Berapa nilai deret disamping    .  .  .

Jawab :

Tulislah semua deret, kemudian tambahkan sisanya dibawahnya.

                        1            2           3          4          5

          10 +        9 +        8 +       7 +      6 +

          11          11         11        11        11

11 + 11 + 11 + 11 + 11 = 11 x 5 = 55

Jadi jumlah deret diatas adalah = 55

Contoh.3

Nilai dari    = . . . .

 

                                                                                                    72

         

    Contoh.4

Bentuk sederhana dari   444444 : 1111 x 2222 = …

Jawab :

 =

Contoh.5

Jika bilangan 123.456 dikalikan dengan 999.999, maka banyaknya angka 9 pada hasil perkalian tersebut adalah ....

Jawab :

123456 x 999.999 = 123.456 x ( 1000.000 - 1)

                                 = 123.456.000.000 – 123.456

                                 = 123.456.876.544          

Contoh.6       

Nilai dari 9 + 99 + 999 + 9999 + 99999 = . . .           

Jawab :

9 + 99 + 999 + 9999 + 99999

 = (10 -1) + (100-1) + (1000-1) + (10.000-1) +(100.000)

= 111.110-5

= 111.105

Contoh.7

Berapakah nilai dari 1 + 2 + 3 + 4 + . . . .  + 99 = . . . .

Jawab :

Banyak data = 99

Rata – rata   = (1+99)/2 = 50

Hasil Penjumlahan = 99 x 50 = 4.950

Contoh.8

Hasil kali 2 bilangan adalah 63 dan selisihnya 18. Maka carilah kedua bilangan tersebut ?

Jawab :

20 x 2 = 40        

21 x 3 = 63

        Maka jawabannya = 21 dan 3

Contoh.9

Selembar uang Rp. 1000,- dapat ditukar dengan 16 koin Rp.100 dan Rp.200.

Berapa jumlah masing – masing koin . . .

Jawab :

6 x 100 + 10 x 50 = 1100

4 x 100 + 12 x 50 = 1000       4 koin Rp.100 dan 12 koin Rp.50

Contoh.10

Tentukan nilai A agar ditemukan hasil akhir dari diagram dibawah ini …

 

Jawab

 

               

               

               

                                                       

Contoh.11

Mesin A harganya 500 Dolar dan mesin B harganya 1000 Dolar.

Dibutuhkan biaya 10 Dolar  perhari untuk menjalankan mesin A  dan 5 Dolar untuk mesin B. Setelah berjalan berapa hari total biaya untuk mesin itu akan sama ?

Jawab :

Buat model matematikanya

Total biaya mesin A = 500 + 10x

Total biaya mesin B = 1000 + 5x

Total biaya mesin A = Total biaya mesin B

500 + 10x = 1000 + 5x

   10x - 5x = 1000 – 500

            5x = 500

              x = 100   ( Jadi kedua mesin itu sama setelah berjalan 100 hari )

Contoh.12

Jika pola pengerjaan dalam kurung pada bagian 1, 2 dan 3 diperoleh diperoleh disamping, Maka hasil pengerjaan bagian 4 adalah . . .

Jawab :

1.   (2;5) = 27 = 2 + 25 = 2 + 5²

2.   (3;6)  = 39 = 3 + 36 = 3 + 6²

3.   (4;7) = 53  = 4 + 49 = 4 + 7²

4.   (6;8) =                     = 6 + 8²

                                       = 6 + 64

                                       = 70

Contoh.13

Nanang memiliki Kambing dan Ayam. Jumlah kaki Kambing dan Ayam nya Nanang adalah 20 buah. Kemungkinan banyaknya Ayam dan Kambing  di bawah ini benar, Kecuali adalah = . . .

a.    Ayam 2 ekor, Kambing 4 ekor.

b.    Ayam 3 ekor, Kambing 4 ekor.

c.    Ayam 4 ekor, Kambing 3 ekor.

d.    Ayam 6 ekor, Kambing 2 ekor.

Jawab :

Jawaban yang tidak mungkin sudah jelas yaitu Ayam 3 ekor, Kambing 4 ekor

Contoh.14

Umur Amir lebih tua 3 tahun dari umur Budi. Budi usianya 4 tahun lebih muda dari Cipto. Ketika Cipto berusia 22 tahun, Maka usia Amir adalah = . . .

Jawab :

Umur Amir  = Umur Budi + 3

Umur Budi  = Umur Cipto – 4

Umur Cipto = 22 tahun

Umur Budi  = 22 - 4 = 18 tahun

Umur Amir = 18 + 3 = 21 Tahun

Contoh.15

Jika 4 # 2 = 14, 5 # 3 = 22, 3 # 5 = 4, 7 # 18 = 31

Maka nilai dari 6 # 9 = . . .

Jawab :

Dengan menebak operasi dari # diatas didefinisikan menjadi x # y = x² – y

Maka, 6 # 9 = 6² – 9

                     = 36 – 9

                     = 27

Contoh.16

Jika suatu angka dikalikan 6, ternyata hasilnya lebih besar 20 dari dirinya sendiri.

Tentukan nilai dari angka tersebut !

Jawab :

Misalkan angka tersebut adalah A

Maka 6A = A + 20

          5 A = 20

             A = 4

Contoh.17

Jumlah angka – angka dari hasil operasi bilangan 666.666² – 333.333²

 adalah . . .

Jawab :

666.666² – 333.333² = ( 666.666 – 333.333 ) ( 666.666 + 333.333 )

= ( 333.333 ) ( 999.999 )

= 3 x 111.111 x 9 x 111.111

= 27 x 111.111 x 111.111

= 2.999.997 x 111.111

= ( 3.000.000 – 3 ) x 111.111

= 333.333.000.000 – 333.333

= 333.332.666.667

Maka jumlah angka – angkanya adalah

3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 2 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 7

= 3 x  5 + 2 + 6 x 5 + 7

= 15 + 2 + 30 + 7

= 54